ラッフルに当たる確率

ラッフルに当たった人はおめでとうございます！！（＞▽＜）ノ

残念ながら当らなかった人は、運が悪かったのでしょうか？ここでラッフルに当たる確率を計算してみましょう！！（＞▽＜）

問題

ラッフルチケットは全部で１０６２枚売れました。景品は１７個（重複を含む）あります。買ったチケットが４枚だとすると、景品が少なくとも１つ当たる確率は何％でしょう？（有効数字は２桁とします。）

解答

６．３％、つまり１６分の１くらいです。

解説

この手の問題は、１つも当たらない確率をまず計算して、１００％から引くと攻めやすいです。

１つも当たらない確率は１７個の景品がそれぞれが当たらない確率をかけた（×）ものになります。

１個目は全体（１０６２枚）の中から外れチケット（１０５８枚）を選びますから、１０５８÷１０６２です。

２個目は残り（１０６１枚）の中から外れチケット（１０５７枚）を選びますから、１０５７÷１０６１です。

３個目は残り（１０６０枚）の中から外れチケット（１０５６枚）を選びますから、１０５６÷１０６０です。

４個目は残り（１０５９枚）の中から外れチケット（１０５５枚）を選びますから、１０５５÷１０５９です。

５個目は残り（１０５８枚）の中から外れチケット（１０５４枚）を選びますから、１０５４÷１０５８です。

６個目は残り（１０５７枚）の中から外れチケット（１０５３枚）を選びますから、１０５３÷１０５７です。

７個目は残り（１０５６枚）の中から外れチケット（１０５２枚）を選びますから、１０５２÷１０５６です。

８個目は残り（１０５５枚）の中から外れチケット（１０５１枚）を選びますから、１０５１÷１０５５です。

９個目は残り（１０５４枚）の中から外れチケット（１０５０枚）を選びますから、１０５０÷１０５４です。

１０個目は残り（１０５３枚）の中から外れチケット（１０４９枚）を選びますから、１０４９÷１０５３です。

１１個目は残り（１０５２枚）の中から外れチケット（１０４８枚）を選びますから、１０４８÷１０５２です。

１２個目は残り（１０５１枚）の中から外れチケット（１０４７枚）を選びますから、１０４７÷１０５１です。

１３個目は残り（１０５０枚）の中から外れチケット（１０４６枚）を選びますから、１０４６÷１０５０です。

１４個目は残り（１０４９枚）の中から外れチケット（１０４５枚）を選びますから、１０４５÷１０４９です。

１５個目は残り（１０４８枚）の中から外れチケット（１０４４枚）を選びますから、１０４４÷１０４８です。

１６個目は残り（１０４７枚）の中から外れチケット（１０４３枚）を選びますから、１０４３÷１０４７です。

１７個目は残り（１０４６枚）の中から外れチケット（１０４２枚）を選びますから、１０４２÷１０４６です。

気づきましたでしょうか？５個目から１３個目は分子と分母が他の確率と打ち消しあうのです。

つまり、確率は以下の式に簡略化されます。

　　（１０４５×１０４４×１０４３×１０４２）÷（１０６２×１０６１×１０６０×１０５９）

　＝０．９３７４、、、

これがすべてハズれる確率です。

つまりどれか１個でも当たる確率は

　　１－０．９３７５＝０．０６２５９、、、

有効数字２桁なので、確率は０．０６３、つまり６．３％です。

一般化

買ったチケットの枚数がｎ枚だった時、どれか１つ当たる確率は

　　１－（（１０４２）×（１０４２＋１）、、、×（１０４２＋ｎ－１））÷（（１０６２）×（１０６２－１）、、、×（１０６２－ｎ＋１））

です。

さらに一般化

売れたチケットの枚数がｓ枚、景品がｐ個、買ったチケットの枚数がｎ枚だった時、どれか１つ当たる確率は

　　１－（（ｓ－ｐ－ｎ＋１）×（ｓ－ｐ－ｎ＋２）、、、×（ｓ－ｐ））÷（（ｓ）×（ｓ－１）、、、×（ｓ－ｎ＋１））

となります。

こうとも書けます。

　　１－（（ｓ－ｎ）！÷（ｓ－ｐ－ｎ）！）÷（ｓ！÷（ｓ－ｐ）！）

　＝１－（（ｓ－ｎ）！×（ｓ－ｐ）！）÷（ｓ！×（ｓ－ｐ－ｎ）！）

ｎ「！」とは階乗のことで、１からｎまでの数をかけた結果です。英語では「factorial」と呼びます。

順列と組み合わせを使うともっと簡単に割り出せます。

分子は外れ券の中から景品数分を選ぶ組み合わせ。分母は全体から景品数分を選ぶ組み合わせ。組み合わせの公式に割り当てると、上と同じ結果になりますね。

組み合わせの公式

順列は英語で「permutation」、組み合わせは「combination」です。

おしゃれな記号を使うとこうです。

「Π（パイ）」は下の数から上の数までを式に入れて、かけあわせた結果です。掛け算の結果（積）は英語で「product」。頭文字の「Ｐ」はギリシャ文字で「パイ」なのでこうなっているのだと思います。ちなみに円周率の「π」は同じ文字の小文字です。

まとめ

４枚は全体の０．４％にもならないのに何かが当たる確率が６．３％ってちょっとお得な気分ですね。(＞▽＜)-3

ちなみに、確率を５０％以上にしたかったら４３枚買う必要がありました！！たった４％の投資で、豪華賞品をもらえる確率が半々！！（＞▽＜）ノ

何のまとめだかわかりませんね、、、（ ゜Д゜）